变形的矩阵表示形式

m×n矩阵是排列成m行和n列的一系列数，例如，图1为几个矩阵表示形式。

用户可以通过将单个元素相加来合并两个尺寸相同的矩阵，例如，图2表示两个矩阵相加。



图1 矩阵



图2 矩阵相加

m×n矩阵可与一个n×p矩阵相乘，结果为一个m×p矩阵，但如果两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同。例如，图3表示两个矩阵相乘。

如果将平面中的点视为1×2矩阵，则可通过将该点乘以一个2×2矩阵来将该点变换，例如，图23显示了应用于点（2, 1）的几个变换。

图4中显示的所有变换都是线性变换，如果变换（如平移）不是线性的，则不能表示为与2×2矩阵相乘的形式。例如，从点（2, 1）开始，将其旋转90°，然后在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位，这时可先使用矩阵乘法，再使用矩阵加法来完成此操作，如图5所示。

后面跟一平移的线性变换称为仿射变换。将仿射变换存储于一对矩阵（一个用于线性部分，一个用于平移）的替换方案是将整个变换存储于3×3矩阵。如果要使3×3矩阵起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第3坐标的1×3矩阵中。通常的方法是使所有的第3坐标等于1，例如，矩阵[2 1 1]表示点（2，1）。将图5中“点的平移”转换为仿射变换的结果如图6所示。



图3 矩阵相乘



图4 点的变换



图5 点的平移

在前面的示例中，点（2，1）映射到了点（2，6），请注意，3×3矩阵的第3列数字为：0、0、1，对于仿射变换的3×3矩阵而言，重要的数字是列1和列2中的6个数字，如图7所示，矩阵左上角的2×2部分表示变换的线性部分，第3行中的前两项表示变换的平移部分。



图6 仿射变换



图7 仿射变换分解图

在GDI+中，可以在Matrix对象中存储仿射变换。由于表示仿射变换的矩阵的第3列总是（0，0，1），因此在构造Matrix对象时，只需指定前两列中的6个数即可。

GDI+中，还有一种变换叫复合变换。复合变换是一个接一个的变换序列，它的矩阵表示形式可通过将几个单独的变换矩阵相乘而得到。Matrix类提供构建复合变换的方法包括Multiply、Rotate、RotateAt、Scale、Shear和Translate。

注意：

① 复合变换的顺序非常重要，一般说来，先旋转、再缩放、然后平移，与先缩放、再旋转、然后平移是不同的。同样，矩阵相乘的顺序也是非常重要的，一般说来，ABC 与 BAC 不同。

② Matrix类属于System.Drawing.Drawing2D命名空间。